Określanie szansy wygranej dla Lotto (Dużego Lotka)

Szansa trafienia 6 liczb przy losowaniu 6 liczb z puli 49 liczb.

Określanie szansy wygranej w grach liczbowych sprowadza się do obliczenia „kombinacji bez powtórzeń” ilości liczb skreślanych z ilości liczb, z których się wybiera.

Ilość kombinacji bez powtórzeń określona jest wzorem:

n! / (k! * (n-k)!)

gdzie:

! – jest oznaczeniem silni (wyrażenie arytmetyczne oznaczające iloczyn liczb od 1 do liczby oznaczonej znakiem !, np.: 3! = 1*2*3 = 6)

n – ilość liczb z których się wybiera

k – ilość liczb wybieranych

 

Przykład:

Obliczyć szansę trafienia sześciu liczb w dużego lotka (przy skreśleniu sześciu liczb w jednym zakładzie).

n = 49

k = 6

ilość kombinacji = 49! / (6! * (49 – 6)!) = 49! / (6! * 43!) =

skracamy licznik i mianownik przez 43!

= (44*45*46*47*48*49) / (1*2*3*4*5*6) = 13 983 816

Szansa wygranej jak 1 z 13 983 816.

Interpretacja wyboru zestawu „k = 6” liczb ze zbioru „n = 49” liczb (bez powtórzeń).

Dla losowania sześciu liczb ze zbioru czterdziestu dziewięciu (tak jak ma to miejsce w dużym lotku) podaje się następującą interpretację obliczenia ilości możliwych zestawów sześcioliczbowych:

- pierwsza liczba jest losowana z 49 liczb – zatem może wystąpić 49 różnych wyników (49 możliwości)

- druga liczba jest losowana z 48 liczb – zatem może wystąpić 48 różnych wyników dla drugiej liczby (48 możliwości)

- trzecia liczba jest losowana z 47 liczb – zatem może wystąpić 47 różnych wyników dla trzeciej liczby (47 możliwości)

……….

W związku z powyższym całkowita ilość możliwości wylosowania zestawu sześciu liczb wynosi: 49*48*47*46*45*44 = 10 068 347 520

W wyniku obliczonym wyżej zawiera się zarówno zestaw (w kolejności losowania): 2, 12, 23, 24,25, 30 jak i zestaw 12, 2, 23, 24,25, 30 co stanowi taki sam zestaw liczb w rozumieniu wyników losowania dużego lotka.

Aby obliczyć ilość zestawów „bez powtórzeń” należy powyższy wynik podzielić przez ilość możliwych ustawień (w kolejności losowania) tej samej grupy sześciu liczb. Pierwsza liczba może wystąpić na sześciu pozycjach, druga na pięciu, trzecia na czterech, ….., w efekcie ilość możliwych ustawień sześciu liczb wynosi: 6*5*4*3*2*1 = 720

Ostateczny wynik (ilość kombinacji bez powtórzeń): 10 068 347 520 / 720 = 13 983 816


Szansa trafienia 5 liczb przy losowaniu 6 liczb z puli 49 liczb.

Zacznijmy od interpretacji.

W losowaniu dużego lotka maszyna wybiera kolejno sześć liczb z czterdziestu dziewięciu.

Szanse trafienia szóstki policzyliśmy wyżej.

W jakimkolwiek zestawie sześciu wylosowanych liczb możemy znaleźć 6 piątek (obliczenie wg wzoru na kombinacje bez powtórzeń 6! / (5! * (6 – 5)!) = 6).

Można powiedzieć, że piątkę możemy trafić w sześciu wylosowanych liczbach na sześć sposobów, przy czym szósta liczba (w tym przypadku) musi być dowolną liczbą z pozostałych 43 liczb (49-6=43) (szósta liczba może być wybrana na 43 sposoby). W związku z tym szanse wygranej zwiększają się 6*43=258 razy.

Zatem ilość możliwych kombinacji 5 w 6 z 49 = 13 983 816 / 258 = 54200,837209302325581395348837209…….

W skrócie:

Wzór na policzenie szansy trafienia „s=5” liczb przy losowaniu „k” liczb z puli „n” liczb:

ilość kombinacji = [n!*s!*(k-s)!] / [k!*(n-k)!*k!*(n-k)]

 

 

Szansa trafienia 6 liczb przy losowaniu 6 liczb z puli 49 liczb.

INTERPRETACJA

W jakimkolwiek zestawie k = 6 wylosowanych liczb możemy znaleźć k! / (s!*(k-s)!) sposobów na rozmieszczenie s = 4 liczb. Przytoczony wzór dotyczy ilości kombinacji bez powtórzeń i dotyczy każdego „k” i „s”, przy czym jest oczywiste, że musi być s <= k. Dla tego przypadku będzie to 15 sposobów.

Pozostałe dwie liczby dla tego konkretnego przypadku (k - s = 2) muszą być dowolnymi liczbami ze zbioru poza rozpatrywaną szóstką. Można je ustawić na (n-k)! / {(k-s)!*[n-k-(k-s)]!} sposobów, co dla tego przypadku da wynik 43! / 2!*41! = 903.

Zatem ilość możliwych kombinacji 4 w 6 z 49 = 13 983 816 / 13545 = 1032,3968…….

W zaokrągleniu podaje się 1 032.

Z powyższego wynika wzór ogólny na szanse trafienia „s” liczb przy losowaniu „k” liczb z puli „n” liczb (po niewielkim przekształceniu):

ilość kombinacji = {n!*s!*(k-s)!*(k-s)!*[n-k-(k-s)]!} / [k!*(n-k)!*k!*(n-k)!]

W celu ułatwienia rozumowania dla multilotka można powyższy przykład zinterpretować w następujący sposób:

Z puli 49 liczb losuje się 6 liczb. Gracz skreśla na kuponie 6 liczb. Z sześciu skreślonych liczb cztery muszą się znaleźć w zbiorze sześciu wylosowanych natomiast pozostałe dwie muszą znaleźć się w zbiorze nie wylosowanych 43 liczb.

Należy zwrócić uwagę na to, że powyższy algorytm podaje prawdopodobieństwo wystąpienia dokładnie czterech trafień przy skreśleniu sześciu liczb i losowaniu sześciu liczb z puli czterdziestu dziewięciu liczb. Dla policzenia prawdopodobieństwa wystąpienia czterech albo pięciu albo sześciu trafień dodajemy oddzielnie policzone prawdopodobieństwa (dla czterech, pięciu, sześciu trafień).

 

Jak to będzie w Multi Multi (Multi Lotku) ?

INTERPRETACJA

W grze multilotek losuje się „k” = 20 liczb z puli „n” = 80 liczb. W tym przypadku gracz ma możliwość skreślenia na kuponie „r” liczb (od 1 do 10  liczb, z puli 80 liczb).

Ilość kombinacji bez powtórzeń dla skreślenia r=10 liczb z puli 80 liczb jest równa 1 646 492 110 120. W przypadku gdy celem jest obliczenie prawdopodobieństwa trafienia „dziesiątki” to 10 skreślonych liczb musi znaleźć się w zbiorze dwudziestu wylosowanych liczb (dla porządku pozostałe 0 liczb musi znaleźć się w zbiorze 60 liczb – 60! / [0!*(60-0)!] – w wyniku otrzymamy 1). Ilość kombinacji bez powtórzeń dla wyboru 10 liczb z 20 daje wynik 184 756. Ostatecznie szanse trafienia 10 na 10 z puli 80 przy losowaniu 20 liczb określimy jako 1 646 492 110 120 / 184 756 = 8 911 711 (i tak podaje się w tabelach).

Uogólniając:

Przy skreślaniu „r” liczb z puli „n” liczb, gdy losowanych jest „k” liczb (z tej samej puli „n” liczb) szanse trafienia dokładnie „s” liczb określa się według wzoru: (kombinacje bez powtórzeń „r” z „n”) / [(kombinacje bez powtórzeń „s” z „k”)*( kombinacje bez powtórzeń „r-s” z „n-k”)], co w ujęciu arytmetycznym będzie wyglądać następująco:

{n! / [r!*(n-r)!]} / {[k! / s!*(k-s)!]*[(n-k)! / (r-s)!*(n-k-(r-s))!]}

Powyższy wzór można również stosować do obliczania prawdopodobieństwa trafienia „s” liczb dla dużego (i express) lotka.

 

Typowanie zakładów

Na koniec istotne spostrzeżenie. Wyliczone jak podano wyżej szanse nie są jednoznaczne z ilością skreślonych zakładów dla zapewnienia 100 % pewności wygranej.

Dla przykładu szansa trafienia jednej liczby przy skreśleniu jednej liczby w multilotku jest określona jako 1 z 4. Nie oznacza to oczywiście, że po skreśleniu czterech zakładów po jednej liczbie na pewno otrzymamy jedno trafienie. Aby mieć stuprocentową pewność trafienia dla przynajmniej jednego zakładu, dla wyżej wymienionego przypadku musimy skreślić 61 zakładów.

Więcej na ten temat w najbliższym czasie.